基本信息
- 项目名称：
- 四阶两点边值问题正解的存在性
- 来源：
- 第十二届“挑战杯”省赛作品
- 小类：
- 数理
- 大类：
- 自然科学类学术论文
- 简介：
- 本文首先给出了Green函数的构造与估计，通过构造适当的锥，在非线性项适当的条件下，利用锥理论与锥压缩不动点定理证明了一类四阶微分微分方程两点边值问题的正解及多个正解的存在性.
- 详细介绍：
- 常微分方程边值问题在理论和应用上，都有着非常重要的作用，它可以用来描述很多物理、生物和化学现象。因此，研究非线性常微分方程边值问题解的存在性与多解性无论在理论上还是在实践中都有着非常重要的意义. 两端简单支撑的弹性梁在平衡状态下的变形,可以用一个四阶微分方程的两点边值问题来表示。由于这类问题在物理等学科里的重要性,这类问题解的存在性已被许多学者所研究。本文在边值条件y(0)=y(1)=y'(0)=y'(1)=0下，研究了方程y(x)的四阶导数= f(x,y(x))的正解存在性， 给出两端固定的弹性梁方程正解及多个正解存在的充分条件. 本文共分为四章， 第一章为绪论，叙述了本文所研究的四阶微分方程边值问题的研究背景、研究意义、本文所要研究的内容、研究方法以及处理此类问题时需要的一些基本概念和相关定理. 第二章中，给出了Green函数的求解方法，并对Green函数进行了估计. 第三章中，在非线性项满足适当条件下研究了一类四阶两点边值问题正解的存在性，首先应用Krasnosellskii不动点定理得到该问题至少有一个正解的存在性结果；再运用Krasnosellskii不动点定理的推论获得了该问题至少有两个正解的存在性结果.并给出了一个实际的例子验证了该问题正解的存在性. 第四章为结束语，对全文的内容进行总结.
作品专业信息
撰写目的和基本思路
- 常微分方程边值问题由于其重要的理论价值和物理背景，一直被许多研究者所关注.本文首先给出了Green函数的构造与估计，通过构造适当的锥，在非线性项适当的条件下，利用锥理论与锥压缩不动点定理证明了一类四阶微分微分方程两点边值问题的正解及多个正解的存在性.
科学性、先进性及独特之处
- 本文给出两端固定的弹性梁方程正解及多个正解存在的充分条件.对于两端固定的梁，由于其定解条件特殊，不能直接转换为方程组，本文通过对 在边界条件 下的Green函数的研究，结合锥上的不动点定理，给出了该问题的正解及多个正解的存在性结果.
应用价值和现实意义
- 非线性边值问题源于应用数学，物理学，控制论等多个应用学科中，在非线性扩散、气体动力学、流体力学等学科中有重要应用.因此，研究非线性常微分方程边值问题解的存在性与多解性无论在理论上还是在实践中都有着非常重要的意义. 在许多的文献里，四阶两点边值问题受到极大的重视，这源于在弹性力学中的应用，本文研究了一类四阶非线性微分方程的两点边值问题，在力学上，该方程描述了两端固接的弹性梁的挠度.
学术论文摘要
- 常微分方程边值问题在理论和应用上，都有着非常重要的作用，它可以用来描述很多物理、生物和化学现象.因此，研究非线性常微分方程边值问题解的存在性与多解性无论在理论上还是在实践中都有着非常重要的意义.本文主要对非线性四阶常微分方程边值问题进行研究，本文在边值条件 下，研究了方程 的正解存在性，在非线性项满足不同的条件等假设前提下，利用Krasnosellskii不动点定理，给出两端固定的弹性梁方程正解及多个正解存在的充分条件.
获奖情况
- 2011年3月1日，获东北石油大学第六届“挑战杯”大学生课外学术科技作品竞赛一等奖
鉴定结果
- 无
参考文献
- [1]周友明.四阶奇异微分方程边值问题正解的存在性及多解性[J].应用泛函分析学报,2006(01)：36-42. [2]李永祥.四阶边值问题正解的存在性与多解性[J].应用数学学报，2003 (01)：99-116. [3]孙彦,刘立山. 三阶奇异边值问题的多解性[J].工程数学学报，2006(01)：92-98. [4]Ruyun Ma,ZHANG Feng-ran.Positive so lotions of fourth-order ordinary differential Equations[J].数学物理学报，1998，18（supp）:124-128.
同类课题研究水平概述
- 非线性泛函分析是应用数学中的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象受到了国内外数学界和自然科学界的重视．受到了越来越多的数学工作者的关注.其中，非线性边值问题源于应用数学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一. 非线性常微分方程的边值问题是微分方程领域中的一个重要研究课题，在非线性扩散、气体动力学、流体力学等学科中有重要应用，对此已有很多研究.由于实际问题的需要进一步研究非线性常微分方程组边值问题就具有其内在的价值.在泛函分析理论以及实际问题的推动下，常微分方程边值问题的研究在近半个世纪里发展十分迅速.并且随着新问题的出现，形成了许多新的研究方向. 常微分方程边值问题由于其重要的理论价值和物理背景，一直被许多研究者所关注,并取得了丰富的研究成果.微分方程边值问题的解的存在性是数学中一个古老而重要的问题,这类问题在物理等学科中有着广泛的应用.边值问题的提出和发展，与流体力学、材料力学、波动力学以及核物理学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用.因为常微分方程可以解析求解的类型甚少，所以求边值问题的解也是困难的.为了适应实际问题的需求，不得不采用近似解法，这样，首先需要回答：边值问题的解是否存在？是否惟一?这就是边值问题的基本论题；关于边值问题解的存在和惟一性问题的研究，在20世纪出现了大量文献，至今仍不断发表新的研究成果.并且将此问题扩展到泛函微分问题和抽象空间微分问题.研究此问题所采用的方法也是多样的.最初多用皮卡迭代法及分析方法；50年代以来发展且采用上、下解方法，瓦热维斯基拓扑方法，李亚普诺夫函数法等.拓扑度理论中不动点定理的发展，也给近代研究提供了重要工具.另外，非线性微分方程特征值问题，一种特殊的边值问题，又称为本征值问题或固有值问题.它是含有一个参数λ 的齐次边值问题（微分方程和边界条件都是齐次的），使齐次边值问题具有非零解的数λ 称为特征值，这些非零解本身称为特征函数(或特征向量).特征值问题在声学、光学、电磁理论、弹性力学、材料力学、流体力学和核物理等学科中，有一系列应用，是量子力学的主要支柱.
