基本信息
- 项目名称：
- 关于特殊隐函数的导数问题
- 来源：
- 第十二届“挑战杯”省赛作品
- 小类：
- 数理
- 大类：
- 自然科学类学术论文
- 简介：
- 隐函数求导问题是《高等数学》一元函数微积分部分提出的一个重要问题，它在一些实际背景应用问题的求解起着重要的作用。本文通过对特殊隐函数（即轮换式函数）的导数问题研究，采用换元、变更主元的数学思想，打破常规数学思维。实现了由浅入深，由简入繁，层层解析的目的，并采用了归纳所得的猜想，最终用所学的、已知的定理给予证明的方法。
- 详细介绍：
- 对于一个函数，变量在定义域内取值时，其中满足一种对应法则,在一定条件下，当取某区间内的任一值，必有唯一的函数值与之对应，即在该区间内确定了一个函数，数学中将这种函数称为隐函数。其中的变量间关系不显现。正因为如此，才让隐函数求导问题变得更加复杂，让人琢磨不透。不过传统的隐函数求导方法也有很多，比如等式二边直接求导、对数求导法、微分法等。然而对于一些特殊的隐函数而言，这种方法便过于复杂，特别是对于轮换式函数，就更加走尽了弯路。所以，应该寻找更为简便的方法。该论文中的轮换理论就解决了这一难题，提供了一种全新的思路。 该论文属于纯数学类理论性作品，具有较高的创新含量。其中所包含的数学思想与数学思维方式与前人的截然不同，进而凸显出该作品的亮点。 它一方面通过由浅入深、由简单到复杂的数学推理对一系列特殊隐函数进行探讨，最终推导归纳出一整套新的理论——轮换理论。主要通过对以下几种类型隐式函数的深入探讨： 1、全代换理论 （1）第一类轮换式函数求导方法 （2）第二类轮换式隐式函数的导数 2、半代换理论 （1）同时含有因式xy、x^n、y^n的轮换式隐式函数的导数 （2）含有因式xy、e^x、e^y的轮换式隐式函数的导数 （3）含有xy且为对数型的轮换式隐式函数求导 （4）含反三角函数的轮换式隐式函数导数 其中探讨归纳出的全代换理论与半代换理论构成了轮换理论的主体。 另一方面该作品集中的将换元、替换的数学思想得较好的体现;归纳与猜想相结合的数学方法得到实践;由一般到特殊、由复杂到特殊的逆向思维得到运用;实现了由已知数学定理推出一般性规律，再回归到数学定理这一过程。其中体现了轮换理论与数学思维方式的有机结合，并将轮换理论与实际效应相互映衬。 该作品实现了由点到面、由具体到抽象的历程，集中的凸显出轮换理论的优越性与创新性。此外，该理论的发展前景较广，包括极限领域、偏导领域等的研究。因此，拥有较大的深入空间与研究方向。
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作品专业信息
撰写目的和基本思路
- 写作目的：培养课余创新、自主学习能力；深入了解导函数，达到“学以致用”的效果。同时，将自己的理论成果与大家一同分享，以便启发、探讨出更加系统、更加完备的轮换理论，带动数学的发展。 基本思路：通过对一些特殊隐函数的探讨，从探讨简单的一元二次函数到更为复杂的函数；充分利用换元、变更主元等数学思想。最后从一般角度对该理论成果进行阐述，形成一套系统性较强的、科学基础较深的、实用价值较大的轮换理论。
科学性、先进性及独特之处
- 创新性：它打破了原有的求导隐函数数学思想的限制。采用由简到繁、层层推进的代换思想。引出半代换与全代换理论，充分体现了换元、变更主元的数学思想。 科学性：该论文以隐函数存在定理为理论基础，具有一定的科学性。同时，论文写作中采用了推理与归纳相结合，层层推进的数学思想，具有较强的科学性。 独特之处：大胆创新，充分抓住已知的定理，进而发现新的理论，进一步形成属于自己的创新性、系统性的理论。
应用价值和现实意义
- 实用价值：导数作为实际问题中的一个有力的工具，便于解决一系列优化问题。本项目的提出，将极大优化原有的复杂求导过程，从而有利于实际问题的解决。进而带来一系列的经济效益与科研价值。 现实意义：该作品以轮换理论为主体，作为一种数学理论，首先确立了它的科研意义。同时该理论涉及的导数、极限、偏导等领域也将受益，带动该层次的研究与发展。应用领域较为广泛。
学术论文摘要
- 隐函数求导问题是《高等数学》一元函数微积分部分提出的一个重要问题，它在一些实际背景应用问题的求解起着重要的作用。本文通过对特殊隐函数（即轮换式函数）的导数问题研究，采用换元、变更主元的数学思想，打破常规数学思维。实现了由浅入深，由简入繁，层层解析的目的，并采用了归纳所得的猜想，最终用所学的、已知的定理给予证明的方法。在一定程度上为解决特殊隐函数的导数问题（即轮换式函数）提供了一种新的便捷方法。 与此同时，本论文中提出的全代换理论和半代换理论不仅可以应用于导数领域，而且可以在化学、物理等其它学科中得以体现。导数在实际问题中广泛应用于优化问题的解决，能够使很多问题简化，带来一定的经济效益。导数的研究发展一直保持着较快的步伐，前人在此领域已经取得了骄人的成绩，但也留下了一系列可研究、可探讨的问题。对于轮换式形式函数未给出较系统的理论。因此，本论文的提出，具有一定的先进性和创新性。 它集中体现了一种轮换与换元的数学思想，逆推与回归的数学思维，归纳与猜想的数学方法。巧妙的将数学方法论与数学思维方式有机结合在一起，推导出了较为系统性的代换理论。
获奖情况
- 暂时未被发表！
鉴定结果
- 本作品选题源于导数基本理论，结合隐函数求导复杂问题，提出了创新式理论。作品中的轮换理论能巧妙地转化并解决一些实际问题，该作品选题合理、题材新颖、方法独特，具有较高的创新性，有一定的应用前景。
参考文献
- [1]刘季浦，关于隐函数存在定理[J]，湖南数学通讯,1993,3； [2]同济大学数学系，高等数学（第六版）（上册）[M]，高等教育出版社，2006； [3]吴赣昌, 高等数学学习辅导与习题解答(上册)(理工类.第三版) [M]，中国人民出版社，2010； [4]华南理工大学数学系，高等数学（上册），高等教育出版社，2009； [5]张天德、张焕玲，高等数学同步辅导（上），山东科学技术出版社，2009（9）； [6]叶立军，数学方法论，浙江大学出版社，2008（6）； [7]胡端平、熊德之，高等数学及其应用（上册），科技出版社，2007（6）.
同类课题研究水平概述
- 本作品属于自然科学性数学类的论文。 由于导数应用非常广泛，实用价值高，包括物理、化学等各学科，都与导数密切相关。导数是一个有用的工具，主要用于解决一系列优化问题。例如：为使某经营利润最大，生产效率最高，或为了使用力最省，用料最少，消耗最省等，就需要用导数来解决，以寻求相应的策略。正是由于导数的应用范围广、价值大，当前国内外关于导数的研究水平较高，特别是在微分、积分方面，新发现、新理论层出不穷，并且不断完善。但是，同类型的课题研究较少，特别是对轮换理论的研究甚少。导数问题更是积分学、微分学的基础性问题。其中隐函数求导相对较为复杂。因此，本作品正好切合隐函数导数求导复杂问题，提出了创新式求导方法。而这些方法在当前国内外是相对缺乏的，对于论文中的轮换式复杂隐函数，能巧妙的转化，并解决实际问题，这必将推动微积分学的进一步发展！ 与此同时，本论文中提出的全代换理论和半代换理论不仅可以应用于导数领域，而且可以在化学、物理等其它学科中得以体现。导数在实际问题中广泛应用于优化问题的解决，能够使很多问题简化，带来一定的经济效益。导数的研究发展一直保持着较快的步伐，前人在此领域已经取得了骄人的成绩，但也留下了一系列可研究、可探讨的问题。对于轮换式形式函数未给出较系统的理论。因此，本论文的提出，具有一定的先进性和创新性。 导数作为一种应用工具，同时也是微分学的基础。自然而然，导数问题的深入研究将推进微分学的发展。轮换式隐式函数的求导问题，在一定程度上深化了学者对导数的认识，以至更为方便的应用导数和研究微分。 本论文中侧重体现的是一种轮换与换元的数学思想，逆推与回归的数学思维，归纳与猜想的数学方法。巧妙的将数学方法论与数学思维方式有机结合在一起，推导出了较为系统性的代换理论。实现了由定理到理论再回归定理的轮换性过程，突显出存在定理的价值。该课题仍可继续深入，具有较高的研究价值。
