基本信息
- 项目名称：
- 一类平面高次多项式微分系统的定性分析
- 来源：
- 第十二届“挑战杯”省赛作品
- 小类：
- 数理
- 大类：
- 自然科学类学术论文
- 简介：
- 本文是通过研究一类平面高次多项式微分系统的中心焦点判定与极限环问题，运用基于H.Poincaré思想的形式级数法，对系统进行细焦点的分析；利用对称原理对系统进行中心判定；并利用Hopf分支理论，分析的到了系统极限环存在性与稳定性的若干充分条件。
- 详细介绍：
- 本文的题目是《一类平面高次多项式微分系统的定性分析》， 第一作者是王旭康，就读于湖南工业大学，本科学历 此文章属于自然科学类学术论文 在刘兴国教授和吕勇教授的指导下进行了对作品的修改和完善。 本文是通过研究一类平面高次多项式微分系统的中心焦点判定与极限环问题，运用基于H.Poincaré思想的形式级数法，对系统进行细焦点的分析；利用对称原理对系统进行中心判定；并利用Hopf分支理论，分析的到了系统极限环存在性与稳定性的若干充分条件。常微分方程所具有的重大意义主要在于：很多物理与技术问题可以化归为常微分方程的求解问题，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。此外，常微分方程在生态学、人口学、经济学等许多其他领域中也有重要的应用。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。开展对多项式微分系统定性分析的研究，一方面将丰富和发展微分方程理论，另一方面也为一些实际问题的解决提供必要的理论基础。
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作品专业信息
撰写目的和基本思路
- 作品目的：在常微分方程定性理论中，中心焦点的判定是一个极为重要的研究难题。同时极限环问题也是平面定性理论研究的主要问题之一。本论文对一类平面微分系统进行中心焦点的判定和极限环存在性参数条件的构建。 研究思路：运用基于H.Poincaré思想的形式级数法对系统进行细焦点的分析；利用对称原理对系统进行中心条件的判定；依据Hopf分支理论，分析构建系统极限环存在性与稳定性的若干充分条件。
科学性、先进性及独特之处
- 由常微分方程来直接研究和判断解的性质，这是常微分方程定性理论的基本思想。本论文采用常微分方程定性理论的分析方法与手段，对一类平面高次多项式微分系统进行定性分析，解决了该系统中心焦点的判定问题，分析得到了该系统极限环存在性与稳定性的若干充分条件。本文则是对一类具有n阶细焦点的多项式微分系统进行了定性分析，并通过判定焦点量的阶数决定了通过微小扰动在奇点邻域内产生极限环的个数。
应用价值和现实意义
- 随着现代化社会的发展，常微分方程无论是在工程、宇航等自然科学领域还是在经济、金融等社会科学领域，都有着广泛的应用。对于数学,特别是数学的应用, 常微分方程所具有的重大意义主要在于：很多物理与技术问题可以化归为常微分方程的求解问题，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
学术论文摘要
- 研究一类平面高次多项式微分系统问题。运用基于H.Poincaré思想的形式级数法，对系统进行细焦点的分析；利用对称原理对系统进行中心判定；并利用Hopf分支理论，分析的到了系统极限环存在性与稳定性的若干充分条件。
获奖情况
- 无
鉴定结果
- 无
参考文献
- 参考文献： [1] 张芷芬，丁同仁，黄文灶，等. 微分方程定性理论[M]. 北京：科学出版社，1985：41-118，196-233. [2] 叶彦谦. 多项式微分系统定性理论[M]. 上海：上海科学技术出版社，1995. [3] 张锦炎，冯贝叶． 常微分方程几何理论与分支问题[M]． 北京：北京大学出版社,2000. [4] 陈明晖，邓明立．常微分方程定性理论与稳定性理论的哲学思考[Ｊ]．自然科学史研究，2005，24(1):45-52. [5] 刘兴国，黄立宏.一类平面多项式系统极限环的存在唯一性[Ｊ]．高校应用数学学报(Ａ辑)，2007，22(4):455-461. [6] 刘一戎，章丽娜.一类5次系统高次奇点的中心焦点判定[Ｊ].浙江师范大学学报， 2008，31(1):17-22.
同类课题研究水平概述
- 极限环问题的研究，在常微分方程定性理论中扮演了一个重要的角色．著名数学家Hilbert在1900年巴黎国际数学家大会上提出了影响数学发展的23个问题．第16问题的后半部分就是极限环问题，这个问题是：对于右端为不高于n次的实平面微分自治系统 ， . 这类方程最多有多少个极限环，当达到最大数目时它们的相对位置如何?这个问题一直吸引着众多数学工作者的关注，其困难程度也一直困扰着人们。为了解决这一难题，已出现了大量的研究论文，也产生了大量的研究方法与优秀的成果，在很大程度上促进了定性理论的发展。然而在平面系统极限环理论的研究中，中心焦点判定是一个极为重要的研究难题，由于焦点量的阶数决定了通过微小扰动在奇点邻域内产生极限环的个数，而实平面极限环的个数首先取决于各奇点邻域内极限环的个数，因而Hilbert第16问题解决的第一难关就是焦点量阶数的研究，即中心焦点的判别。1976年，前苏联著名数学家Arnold提出微分方程稳定性理论中至今悬而未决的Arnold问题。如果一个向量场是由具有固定次数，带有有理系数的多项式来给定，那么是否能给出一个判定准则的算法来定出此向量场中之驻定点的稳定性?正如文[1]指出：Arnold问题的彻底解决依赖于中心焦点判别．因此不论是Hilbert第16问题还是Arnold问题，焦点量的研究都具有头等重要的意义。 迄今为止，关于中心焦点判别的已有工作大多集中在对二次、三次具体系统的研究上。1911年，Kapteyn[2]给出了特殊二次系统的中心条件。 1952年，Bautin[3]在Kapteyn条件的基础上，证明了二次系统焦点量公式(其中第三个焦点量的符号，在1981年被秦元勋、刘尊全[4]用计算机推导证明是错误的)，从而彻底地解决了二次系统的中心焦点判别问题。1982年李承治在[5]中直接应用一般二次系统的系数给出了相应的判别量．近年来，关于多项式系统中心条件的研究逐渐增多[6,7]。然而， 1994年，杜乃林、曾宪武[8],在分析极坐标下求解形式级数方法的基础上，得到了一类计算焦点量的递推公式，在一定程度上降低了焦点量计算的难度，但仍然涉及较为复杂的非线性运算，因此，中心焦点判定是一个极为重要的研究难题。
