基本信息
- 项目名称：
- 平面费马点问题的推广
- 来源：
- 第十二届“挑战杯”作品
- 小类：
- 数理
- 大类：
- 自然科学类学术论文
- 简介：
- 本文将平面上经典的费马点问题的结果进一步整理并作了深入研究。首先把原始的费马点问题由三个点的情形进一步推广到了多个点的情形，将最初的距离求和的形式以更广泛的幂次求和形式代替。接着再将平面的情形推广到高维的欧氏空间，进一步推广到更为一般的赋范空间、Banach空间中，均取得了非常重要的结论。对于球面和双曲面对应的费马点问题的唯一性和存在性也展开了细致的讨论，同时在流形上展开了讨论。
- 详细介绍：
- 本文首先整理了平面上经典的费马点问题的结果并作了深入研究，把原始的费马点问题由三个点的情形进一步推广到了多个点的情形。将最初的距离求和的形式以更广泛的幂次求和形式代替，将平面的情形推广到高维的欧氏空间，在Banach空间对该问题取得了相应结论。将集合视为抽象的点，对应的费马点问题也取得了一定的成果，同时更为重要的是，在球面三角形和双曲三角形对应的费马点问题也展开了细致的讨论，彻底解决了唯一性和存在性问题。
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作品专业信息
撰写目的和基本思路
- 撰写目的：整理最近一年的研究成果，深入地分析已得到结论，使得可以进一步更好地研究该问题。 撰写思路：以一般的抽象观点为主要手段研究统一研究费马点问题的推广，深化平面，曲线，以及曲面的相关结论，其中通常的欧氏空间的情形作为特例。重点讨论重要的Banach空间中的对应的多种费马点问题，广义费马点轨迹问题，球面三角形广义费马点存在唯一性定理等.
科学性、先进性及独特之处
- 该作品“平面费马点问题的推广”,在研究观点、研究方法、研究范围方面都比以往的研究有较大的改进。在研究观点上，本文从Banach空间来考察和处理问题；在研究方法上，本文采用更加有力的凸分析工具；在研究范围上，从平面、球面双曲面到Euclid空间再到Banach空间得到了不少结论。本文利用凸分析方法解决了左铨如尚未解决的一个猜测，同时克服了该方法对于球面的不足，首次解决了球面唯一性定理。
应用价值和现实意义
- 在平面，球面，双曲面解决了广义费马点问题的存在性和唯一性定理，对于实践有重要指导意义，存在性唯一性定理的构建对于对于很多这方面的最优选址算法问题给予了理论上的强有力的支持。 在理论上开始深化和完善与实际对应的最优化问题的基础理论，得到的结论对于交通的运输方面最优化选址的问题具有重要意义。
学术论文摘要
- 本文“平面费马点问题的推广”首先将平面上经典的费马点问题的结果进一步整理并作了深入研究，然后将原始的费马点问题由三个点的情形进一步推广到了多个点的情形。并且将最初的距离求和的形式以更广泛的幂次求和形式代替，同时将平面的情形推广到高维的欧氏空间，再到抽象的Banach空间,并取得了相关的结论。另外根据该问题定义了保持费马点的映射类，进行了深入地讨论。对于球面三角形和双曲三角形的广义费马点问题，本文完全解决了存在性和唯一性。
获奖情况
- 1. 获某大学数学科学学院2009-2010年百项工程院内评审排名第一，得到相关专家的认可与支持。 2.第十一届“挑战杯”某大学大学生课外学术科技作品竞赛特等奖。 3.第十一届“挑战杯”某市大学生课外学术科技作品竞赛特等奖； 4.目前相关结论尚在进一步研讨和深化中，故论文尚未发表。
鉴定结果
- 申请者项目完全属实，不论是从课题的选择，还是项目的研究，以及论文的写作全由他们组员通过合作努力亲手完成。在研究中研究者查阅了大量的文献，同时自学了许多新的数学方面的知识，在科研素养上也有较大的提升！
参考文献
- 1.Anastasios Zachos and Gerasimos Zouzoulas, The weighted Fermat–Torricelli problem for tetrahedra and an “inverse” problem,Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2.S Gueron, The Fermat-Steiner problem, 2002, American Mathematical Monthly. H.W.Kuhn, A note on Fermat's problem, 1973, Springer. Y S Kupitz, Geometric aspects of the generalized Fermat-Torricelli problem, Intuitive geometry, 1997. 3.Khuloud Ghalieh and Mowaffaq Hajja, The Fermat Point of a Spherical Triangle, The Mathematical Gazette. 1996 4.Sadi Abu-Saymeh and Mowaffaq Hajja，On the Fermat-Torricelli Points of Tetrahedra and of Higher Dimensional Simplexes, Mathematics Magazine, 1997. 5.林波,左铨如,度量空间有限点集的费马点， 1998. 6.左铨如, 具有费马点单形性质与Erdos-Mordell不等式的高维推广， 1992. 7.陈国先，Banach空间的选址问题，1984. 8.Michael Link, The Fermat point of hyperbolic triangle, 2006
同类课题研究水平概述
- 该问题目前仍然是一个开放性问题，国内和国外对于该问题展开的深入讨论并不多。 国外目前讨论很多是基于对最优选址问题的一些算法问题，而且最新的很多文献都是基于对算法的考虑，在理论上往往讨论的比较少。代表性较高的有S Gueron，The Fermat-Steiner problem和 H.W.Kuhn，A note on Fermat's problem.以及Y S Kupitz,Geometric aspects of the generalized Fermat-Torricelli problem等。这些文献对于费马点问题的讨论的形式和内容大大地影响了后来的很多文献。这类文献有个共同之处就是对于流形的结论较少，即便是对于最为简单的曲面--球面，目前也只有零星的结论。Khuloud Ghalieh and Mowaaq Hajja, (1996). The Fermat Point of a Spherical Triangle,解决了球面上平凡费马点问题，但是对于一般加权形式的广义费马点问题以及唯一性问题，尚未看到有文献讨论.双曲面1次幂费马点的工作有Michael Link在2006年的工作“The Fermat point of hyperbolic triangle”，这篇文章对于曲面上研究费马点问题具有重要意义。 国内目前在这一方面文献之少，具有代表性的是1997年林波和左铨如在“数学杂志”上发表的“度量空间有限点集的费马点”和左铨如1992年的“具有费马点单形性质与Erdos-Mordell不等式的高维推广”，这两篇文章主要是从几何观点下研究费马点问题，得到了一些比较深刻的结论。但是如果我们以泛函分析的观点来重新分析相关结论，很多结论可以更为简洁地得到或改进。另外还有一篇就是陈国先1984年发表的“Banach空间的最优选址问题”，也得到了很多结论。但是这些文献对于平面的深化工作似乎没有给予足够的重视。基于此我们率先开始深化关于平面情形的结论，研究后期发现发现这种思路是非常必要的。 关于广义费马点轨迹问题的研究，集合间费马点问题，国内国外迄今为止尚未看到有文献深入讨论这两个问题。
