基本信息
- 项目名称：
- 一类一维混沌映射的拓扑条件
- 来源：
- 第十一届“挑战杯”国赛作品
- 小类：
- 数理
- 大类：
- 自然科学类学术论文
- 简介：
- 混沌现象最本质的特征是初值敏感性，保证系统有初值敏感性的一个充分条件是具有正李雅普诺夫指数。因此研究系统是否具有正李雅普诺夫指数成为研究系统是否出现混沌的重要方法。在本篇论文中，我们首次从拓扑角度给出了一类一维映射出现混沌现象的充分条件。研究此类映射，最重要的是研究临界点、临界点轨道及其相互关系。我们采用临界点的逆像建立拓扑工具，分析临界点轨道与临界点的复杂关系，进而导出系统出现混沌的拓扑特征及它与李雅普诺夫指数之间的关系。
- 详细介绍：
- 二十世纪中期以来，人们在对物理、天文、气象等领域的研究中发现了大量的混沌现象。自此，对混沌现象的研究成为动力系统乃至数学中的一个长期的前沿和热点研究领域。对于混沌现象的研究成果已经广泛应用于实际问题的解决。 混沌现象的最本质特征是初值敏感性，保证有初值敏感性的一个充分条件是系统具有正李雅普诺夫指数。因此研究系统是否具有正李雅普诺夫指数成为研究混沌系统的重要方法。如何从拓扑角度描述正李雅普诺夫指数，这是本文所研究的核心，也是研究和时间有关的非线性动力系统的热点和前沿问题。 动力系统研究的就是极限集。六十年代之前研究的是经典情况，极限是不动点、极限环。上个世纪六十年代到八十年代，研究的重点转为更加复杂的极限集，也就是具有混沌结构的极限集，但研究的系统是双曲结构的，这类双曲结构的系统从拓扑上讲是开稠的。进入八十年代以后，研究发现，相应的非双曲结构系统是全测的，自此，对非双曲结构动力系统的研究成为热点和前沿。我们项目关心的就是这类非双曲动力系统。对于这类问题的研究已经有了不错的成果。推动动力系统发展的几个经典方程，如Lorenz方程，Van der pol方程，都是非双曲的，由此可见其重要性。数学界的最高荣誉是菲尔兹奖，而菲尔兹奖是在国际数学家大会上产生的，从1986年以来，每一届的国际数学家大会都有这一领域的一小时报告。1994年的菲尔兹奖得主Yoccoz正是凭借在这一领域的杰出成果，而获得这一数学领域的最高荣誉。 在本篇论文中，我们给出了一类一维映射出现混沌现象的拓扑条件。研究此类映射，最重要的是研究临界点、临界点轨道及它们的相互关系。我们研究临界点逆轨道的运动形态、相应开集的拓扑特征及其它们之间的复杂关系，导出系统出现混沌的拓扑特征及它与李雅普诺夫指数之间的确切关系。 从拓扑的角度来研究这个问题，将加深对此类映射的混沌结构的认识。在本篇论文中，我们采用临界点的逆像建立拓扑工具，使用这一拓扑工具分析临界点轨道与临界点的复杂关系，并首次从拓扑角度给出了一类一维映射出现混沌现象的充分条件。
作品专业信息
撰写目的和基本思路
- 二十世纪中期以来，在实际问题的研究中发现了大量的混沌现象。对混沌的研究成为动力系统乃至数学中的一个前沿领域。混沌现象的最本质特征是初值敏感性，而其充分条件是具有正李雅普诺夫指数。本文从拓扑角度给出了一类一维映射出现混沌现象的充分条件。研究此类映射，最重要的是研究临界点、临界点轨道及它们的相互关系。我们研究临界点逆轨道的动力学特性，从而导出系统出现混沌的拓扑条件。
科学性、先进性及独特之处
- 本论文研究的问题属于非双曲动力系统领域，该领域是近二十年来动力系统领域研究的前沿和热点问题。自1986年以来，每届国际数学家大会都有这一领域的一小时报告。Yoccoz凭借在这一领域的杰出贡献而获得1994年的菲尔兹奖。 我们对于一类普适的动力系统，首次从拓扑角度给出系统具有混沌现象的条件。
应用价值和现实意义
- 二十世纪中期以来，人们在对物理、天文、气象、生命科学、社会和经济等领域的研究中发现了大量的混沌现象，例如气象学中的Lorenz方程，电学中的Van der pol方程等。因此自二十世纪六十年代以来，对于具有不同结构的混沌现象的研究持续至今，仍然是非线性科学领域前沿和热点问题。因此，对基于具有广泛应用背景的混沌现象的基础研究，不论在数学理论上还是实际应用上都具有重大意义。
学术论文摘要
- 二十世纪中期以来，人们在物理、天文、气象等领域中发现了大量的混沌现象。这些新发现引发了近几十年来对混沌现象的研究。由于它的困难程度和在解决实际问题中的巨大价值，对混沌现象的研究成为动力系统乃至数学中的一个长期的前沿和热点研究方向。 混沌现象最本质的特征是初值敏感性，保证有初值敏感性的一个充分条件是系统具有正李雅普诺夫指数。因此研究系统是否具有正李雅普诺夫指数成为研究系统是否出现混沌的重要方法。 在本篇论文中，我们首次从拓扑角度给出了一类一维映射出现混沌现象的充分条件。从拓扑的角度来研究，将加深对此类映射出现混沌的机理的认识。研究此类映射，最重要的是研究临界点、临界点轨道及它们的相互关系。我们采用临界点的逆像建立拓扑工具，使用这一拓扑工具分析临界点轨道与临界点的复杂关系，研究临界点逆轨道的运动形态、相应开集的拓扑特征，进而导出系统出现混沌的拓扑特征及它与李雅普诺夫指数之间的关系。
获奖情况
- 本论文于2009年4月获本校第十九届“冯如杯”学生课外学术科技作品竞赛项目自然科学类一等奖。
鉴定结果
- 情况属实。
参考文献
- 1、M. Benediks and L. Carleson, On iteration of on (-1,1), Annals of Mathematics, 122:1-25, 1985. 2、Zheng Zhiming, On the Abundance of Chaotic Behavior for Generic One-Parameter Families of Maps, Acta Mathematic Sinica, Vol.12,No.4,P.P. 398-412, 1996. 3、Zhang Tingting, Topological Conditions for Positive Lyapunov exponent of Map f= ,Series of Selected Papers from Chun-Tsung Scholars, Peking University, 88-114, 2002. 4、Sebastian van Strien, Hyperbolicity and Invariant Measures for General Interval Maps Satisfying the Misiurewicz Condition, Communication in Mathematical Physics, 128:437-495, 1990. 5、Tomasz Nowicki and Feliks Przytycki, Topological invariance of the Collet-Eckmann property for S-unimodal maps, Fundamenta Mathematicae 33-43, 1998. 6、H.Bruin, J.Rivera-Lerelier, W,Shen, S.van Strien, Large derivatives, backward contraction and invariant densities for interval maps, Inventiones mathematicae 172:509-533, 2008.
同类课题研究水平概述
- 国内外有许多数学工作者从事这一领域的研究，可以归为如下两类： 1.对连续或者离散的动力系统族研究，系统族中“有多少”系统具有混沌特征； 2.从“测度角度”来讲，整个动力系统集中“有多少”具有非双曲的结构。 而一维映射是这类研究中最基本的映射，因此对一维映射的研究在非线性科学中具有重要价值。在这个领域的研究起源于一些具体的映射。在1983年，Benedicks和Carleson从度量的角度给出了映射F(x; a) =1-ax^2 (-1≤x≤1,其中a为参数)具有正Lyapunov指数的条件。在20世纪90年代Sands从拓扑角度分析了一类非双曲动力系统出现混沌的机制。随后在2003年，张婷婷也针对一类特殊的单峰映射F(x; a) =1-ax^2，给出了出现混沌的拓扑条件。她的工作拓展了Sands的结果。延续他们的工作，我们从拓扑角度讨论更加一般的多峰映射，推广了他们的结论。
