基本信息
- 项目名称：
- 权为的x2Legendre正交多项式的研究与应用
- 来源：
- 第十一届“挑战杯”国赛作品
- 小类：
- 数理
- 大类：
- 自然科学类学术论文
- 简介：
- 本文提出一类新的以x2为权的Legendre正交多项式，并应用生成函数法严格证明该多项式的正交性，且给出该多项式明确的模值及其递推关系、微分关系和积分关系等相关性质，以此作为一类以x2m为权的正交多项式的研究基础。进一步，本研究小组从图像正交矩理论出发，首次提出一类基于权为x2的Legendre多项式的交错正交矩，并通过重构实验，说明该交错矩具有很好的图像特征表达能力。
- 详细介绍：
- 经典正交多项式的研究大多由19世纪的Jacobi，Hermite，Laguerre等欧洲数学家所提出。该多项式具有确定的物理含义、简洁的解析表达以及广泛的工程应用，自问世以来一直得到数学、物理以及工程等领域的关注。 正交多项式之所以受到广泛关注，不仅因为它所具有的数学价值，如连分式、欧拉系列、椭圆函数、量子代数等，更重要的是它和物理、工程应用等有很深的联系，典型应用是图像处理和模式识别技术，如以正交多项式为核函数的图像正交矩与不变特征量等。因此，研究正交多项式的表达与性质具有重要的理论与工程应用价值。 目前经典正交多项式的研究多集中在国外，但近些年对其他类别的经典正交多项式的解析表达及其性质的研究并没有实质性的突破，不仅国外对该领域的报道罕见，国内其研究成果更是鲜见报道。国内相关领域对其解析表达的研究更是鲜见报道。虽通过Christoffel定理和Schmidt定理，可构造任意权的正交多项式，但却无法得到其解析式，且随着权函数与多项式阶数的增大，构造新正交多项式的难度也随之增大。这是目前研究经典正交多项式解析表达的难点。 本研究小组研究的以x2为权的Legendre多项式不属于已有经典多项式（如Jacobi多项式等）的范畴。对于该多项式的研究目的有二： A. 本文探讨的x2权的Legendre多项式目的在于为研究一类以x2m为权的Legendre正交多项式提供初步的技术探索，而该研究方向的最终目标是探求一类正交多项式解析表达的一般性原则。 B．作为图像正交矩的构建基础，研究小组希望从此类多项式出发，寻找具有更好特征表达能力的图像正交矩。 鉴于以上研究目标，研究小组从经典正交多项式的基本原理和特性出发，提出一套权为x2的Legendre多项式的解析表达，并通过生成函数法求取其模值，严格证明该多项式的正交性及其相关性质如递推关系，微分关系和积分关系等。最后研究小组给出一组基于该正交多项式的正交矩并进行试验验证。
作品专业信息
撰写目的和基本思路
- 本小组研究了一类以x2为权的Legendre正交多项式，提出其模值，并通过生成函数法严格证明了其正交性与其他一些相关性质，以此作为一类权为x2m 的Legendre正交多项式的研究基础。本研究小组还进一步提出基于权为x2的Legendre正交多项式的交错正交矩，设计出一个重构实验,通过对比该交错正交矩与Zernike矩在图像重构上的误差值，表明该交错正交矩具有很好的图像特征表达能力。
科学性、先进性及独特之处
- 研究小组以经典正交理论为基础，以生成函数法为手段，研究了权为x2的Legendre正交多项式及其模值的解析表达和其他相关性质；进一步，作品从图像正交矩理论出发，首次提出一类基于权为x2的Legendre多项式的交错正交矩，并通过重构实验，说明该交错矩具有很好的图像特征表达能力。以研究小组目前掌握的资料来看，本作品所有研究成果目前未见报道，属首次提出。
应用价值和现实意义
- A．本文探讨的x2权的Legendre多项式目的在于为研究一类以为x2m权的Legendre正交多项式提供初步的技术探索，而该研究方向的最终目标是探求一类正交多项式解析表达的一般性原则。 B．本研究小组所提出的交错正交矩在图像处理上具有显著优势。此外，该多项式作为图像正交矩构建的基础，研究小组希望从此类多项式出发，寻找具有更好特征表达能力的图像正交矩。
学术论文摘要
- 经典正交多项式涉及数学、物理等诸多应用，典型应用是图像处理和边缘模式识别技术。但近些年来，对经典正交多项式的研究并没有取得新进展。本文提出一类新的以x2为权的Legendre正交多项式，并应用生成函数法严格证明该多项式的正交性，且推出了该多项式明确的模值及其递推关系、微分关系和积分关系等相关性质，以此作为一类以x2m为权的正交多项式的研究基础。进一步，本研究小组从图像正交矩理论出发，首次提出一类基于权为x2的Legendre多项式的交错正交矩，并通过重构实验，说明该交错矩具有很好的图像特征表达能力。
获奖情况
- 2009年6月，荣获湖北省第七界“挑战杯”大学生课外学术科技作品竞赛一等奖
鉴定结果
- 暂无
参考文献
- [1] Bailey, W. N., The generating function of Jacobi polynomials,J.London Math. Soc., 1938, 13: 8–12. [2] Fikret, A., Some useful properties of Legendre polynomials and its applications to neutron transport equation in slab geometry, Applied [3]. M.R. Teague, Image analysis via the general theory of moments[J], J.Opt. Soc. Am. 70 (9) (1982) 920–930. [4]. 孙家昶, 新的一类三变量正交多项式及其递推公式[J], 中国科学(A辑:数学), 2008, 51(6): 1071–1092.
同类课题研究水平概述
- 经典正交多项式涉及数学、物理等诸多应用，典型如不变量的模式识别、图像重构、边缘检测、图像识别等。 经典正交多项式主要包括区间[-1, 1]内权为的Jacobi多项式、(-∞, +∞)内权为的Hermite多项式和在(0, ∞)内权函数为的Laguerre多项式等。然而，近年来对经典正交多项式的研究进展不大。虽然通过Christoffel定理和Schmidt定理，可以构造任意权的正交多项式，但却无法得到其解析式，而且随着权函数与多项式阶数的增大，构造新正交多项式的难度也随之增大。 因此，为进一步探索经典正交多项式的性质，本研究小组研究一类权为x2的Legendre多项式。它不属于上述各类经典多项式，是研究小组下一步研究权为x2m的Legendre多项式的前期工作。 本研究小组提出的权为x2的Legendre多项式的正交多项式的解析表达.此外，本文采用生成函数法对权为x2的Legendre正交多项式的正交性进行了严格的证明，推出了它明确的模值，并证明了与其相关的一些性质，以此作为一类权为x2m 的Legendre多项式的研究基础，也为得到更广泛的正交多项式的解析式开辟了新的方向。并讨论以权为x2的Legendre正交多项式为核函数的图像正交矩在图像处理中的应用。本研究小组设计了一个重构实验，来对比该交错正交矩与Zernike矩在图像重构上的误差值。该实验表明基于权为x2的Legendre正交多项式的交错正交矩具有很好的图像特征表达能力。
