基本信息
- 项目名称：
- 基于Gauss函数的小波变换像空间的性质
- 来源：
- 第十二届“挑战杯”省赛作品
- 小类：
- 数理
- 大类：
- 自然科学类学术论文
- 简介：
- 本文主要对小波变换像空间的一些性质进行了研究。主要内容为利用Gauss函数构造了两类更一般的连续小波，利用解析延拓的方法，把它们的像解析延拓到复空间，经过复杂的计算得到这两类小波变换像空间的再生核函数的解析表达式。再利用再生核的结构和性质对其像空间进行了具体描述，建立了当尺度因子固定时其像空间与已知再生核Hilbert空间范数的等距恒等式。
- 详细介绍：
- 本文对小波变换像空间的一些性质进行了研究。主要利用Gauss函数构造了两类更一般的连续小波，并给出了这两类小波变换像空间的再生核函数的解析表达式和固定尺度因子时相应的像空间的等距恒等式。第一类连续小波由Gauss函数和其导函数的线性组合构成，其最典型的一个特例即为DOG小波函数的情况；而第二类连续小波利用Gauss函数的导函数经过卷积构成，其最典型的一个特例即为Gauss小波函数的情况，而且可以发现该小波变换像空间的再生核函数的偏导的次数与小波函数在构造时的偏导的次数有关。对于这两类小波变换，利用解析延拓的方法，把它们的像解析延拓到复空间，经过复杂的计算得到这两类小波变换像空间的再生核函数的解析表达式。再利用再生核的结构和性质对其像空间进行了具体描述，建立了当尺度因子固定时其像空间与已知再生核Hilbert空间范数的等距恒等式。根据再生核函数良好的结构，利用较完善的再生核空间理论给出小波变换像空间的性质，这为讨论更一般的小波变换像空间性质提供了新的方法并起到一定的指导作用。
作品专业信息
撰写目的和基本思路
- 本文旨在基于Gauss函数给出两种小波变换像空间的再生核函数的显示表达式及等距恒等式的性质，从再生核空间的理论角度来讨论小波变换像空间的性质，这对利用小波变换进行信号处理起着至关重要的作用。 本文分别利用卷积运算和线性组合得到两类可允许小波，对于这两类小波变换，利用解析延拓的方法，把它们的像解析延拓到复空间，经过复杂的计算和论证得到这两类小波变换像空间的再生核函数的解析表达式。
科学性、先进性及独特之处
- 本文经过复杂的科学论证，给出了两种小波变换像空间的再生核函数的显示表达式，以再生核的观点来考虑函数经小波变换后，其像空间的性质，并给出了一些像空间与已知再生核空间的等距恒等式，并将已有结果进行了很好的推广。本文独特之处是较好地将再生核空间理论与小波变换理论有机地相结合，得到了令人满意的结果。此项研究结果不但达到了国际先进水平，而且使小波理论和再生核空间理论得到了更深入的研究和广泛的运用。
应用价值和现实意义
- 小波变换因其灵活的聚焦能力，如今已被广泛的应用于现实中的信号处理、CT成像、图像处理、模式识别等领域，因此，对于信号经过小波变换后其像空间的研究就显得较重要，具体给出了两类像空间的再生核函数的解析表达式及相关性质，不但为进一步讨论小波变换像空间打下了坚实的理论基础，而且使得小波变换重建公式的数值计算得以实现，以及利用再生核函数描述小波变换像空间的性质对信号的重建起着至关重要的作用。
学术论文摘要
- 本文对小波变换像空间的一些性质进行了研究。主要利用Gauss函数构造了两类更一般的连续小波，并给出了这两类小波变换像空间的再生核函数的解析表达式和固定尺度因子时相应的像空间的等距恒等式。第一类连续小波由Gauss函数和其导函数的线性组合构成，其最典型的一个特例即为DOG小波函数的情况；而第二类连续小波利用Gauss函数的导函数经过卷积构成，其最典型的一个特例即为Gauss小波函数的情况，而且可以发现该小波变换像空间的再生核函数的偏导的次数与小波函数在构造时的偏导的次数有关。对于这两类小波变换，利用解析延拓的方法，把它们的像解析延拓到复空间，经过复杂的计算得到这两类小波变换像空间的再生核函数的解析表达式。再利用再生核的结构和性质对其像空间进行了具体描述，建立了当尺度因子固定时其像空间与已知再生核Hilbert空间范数的等距恒等式。根据再生核函数良好的结构，利用较完善的再生核空间理论给出小波变换像空间的性质，这为讨论更一般的小波变换像空间性质提供了新的方法并起到一定的指导作用。
获奖情况
- 作品中的3.1节已发表在2010年IEEE小波分析与模式识别国际会议（Proceedings of 2010 International Conference on Wavelet Analysis and Pattern Recognition）论文集上，题为《The Reproducing Kernel Hilbert Space Based on Wavelet Transform》，已被EI检索（20104313328327），李帅同学并在会议上作了报告，此会于2010年7月11-14日在青岛召开。
鉴定结果
- 同意
参考文献
- [5] 杜微微, 邓彩霞, 赵国良. Shannon小波像空间的描述[J]. 哈尔滨理工大学学报, 2003, 18(3): 127-130. [6] 杜微微, 邓彩霞, 韩红. Maar小波变换像空间的描述[J]. 哈尔滨师范大学自然科学学报, 2006, 22 (3): 31-33 [7] DENG CAI XIA, HAN HONG, DU WEI WEI. Characterizing of the Image Space of Wavelet Transform[J]. Proceedings of the 6th International Progress on Wavelet Analysis and Active Media Technology, 2005, (3): 1165-1171. [8] 韩红, 邓彩霞, 邓中兴. 改进的Morlat小波变换像空间的描述[J]. 数学研究与评论, 2007, 27(4): 955-959. [9] 邓彩霞, 曲玉玲, 侯杰. Gauss小波变换像空间的描述[J]. 数学学报, 2008, 52(2): 225-234. [10] DENG CAI XIA, FU ZUO XIAN, MA XIAO JIAN. The Properties of Gabor Wavelet Transform[J]. Proceedings of 2007 International Conference on Wavelet Analysis and Pattern Recognition, 2007, (4): 1504-1507. [13] DENG CAI XIA, QU YU LING, GU LI JUAN. Characterization of Image Space of a Wavelet Transform[J]. International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing, 2006, 4(3): 547-557.
同类课题研究水平概述
- 再生核理论及其应用在得到不断发展的同时，它与小波分析理论之间联系的也是越来越密切。1992年，Daubechies在她的专著《Ten Lectures on Wavelets》中指出平方可积空间中的连续小波变换是线性变换，因而其像空间就是一个再生核空间，并且空间中的所有元素都可以通过再生核函数来表示。再生核空间是连续小波变换的基础，再生核函数对连续小波变换的重建起着重要作用，如果小波变换无法重建，小波分析方法就成为了空谈。因此利用连续小波变换像空间中的再生核函数来研究连续小波变换像空间的结构和连续小波变换的重建就至关重要。目前，国内利用再生核理论来讨论小波变换的像空间的性质已经有了一些结果，邓彩霞、杜微微对Shannon[5]，Marr[6]，Littlewood –Paley[7]等小波变换像空间进行了描述；韩红、邓彩霞、邓中兴对改进的Morlat小波变换像空间进行了描述[8]；邓彩霞、曲玉玲、候杰、付作娴等人对Gauss[9]，Gabor[10，11]和Journe[12，13]等小波变换像空间作了比较深入的研究。以上结果都是针对常用的典型小波函数考虑其小波变换像空间的性质，国外还未见到其它相关的研究成果。而本文分别利用卷积运算和线性组合得到的可允许小波更具有灵活性，对该小波变换像空间性质的研究，更具有普遍的理论意义和实际应用价值，而且对文献[9]中典型的Gauss小波变换像空间的描述进行了推广, 本文的研究结果是目前国内外在小波变换像空间描述的相关研究工作中所获得的最令人满意的结果，这不但为进一步描述更一般的连续小波变换像空间提供了有效的方法，而且利用像空间的再生核函数的解析表达式使得小波变换重建公式的数值计算得以实现，充分体现了再生核函数具有良好的计算性质，以及利用再生核函数描述小波变换像空间的性质对信号的重建起着至关重要的作用。
